Diferencijalni račun funkcija jedne i više varijabli

Diferencijalni račun je grana matematičke analize, koje ispituje derivata, razlike i njihovu uporabu u proučavanju funkcije.

Priča

Diferencijalni račun nastao kao samostalne discipline u drugoj polovici 17. stoljeća, zahvaljujući radu Newtona i Leibniza, koji je formulirao osnovne odredbe u izračun razlike i uočili vezu između integracije i diferencijacije. Od disciplina je razvio zajedno s obračunom integrali, čime čine osnovu matematičke analize. Pojava tih kamenaca otvorio novu modernu razdoblje u matematički svijet i uzrokovao nastanak novih disciplina u znanosti. Također je proširio mogućnost primjene matematike u prirodnih i tehničkih znanosti.

osnovni pojmovi

Diferencijalni račun zasniva se na temeljnim pojmovima matematike. To su: realni broj, kontinuitet i ograničenje funkcije. Nakon nekog vremena, oni su se moderan izgled, zahvaljujući integralnom i diferencijalnom računu.

Proces stvaranja

Formiranje diferencijalnog računa u obliku aplikacije, a zatim znanstvene metode dogodila prije pojave filozofske teorije, koji je nastao Nikolay Kuzansky. Njegov rad se smatra evolucijski razvoj od drevne znanosti presude. Unatoč činjenici da je sam filozof nije bio matematičar, njegov doprinos razvoju matematike je neporeciv. Kuze, jedan od prvih iz razmatranja aritmetike kao najtočnije znanosti, matematike stavljajući vrijeme u pitanje.

U davna matematičara univerzalni kriterij bila jedinica, dok je filozof predlaže kao novi mjere beskonačnost vraća točan broj. U vezi s tim obrnutim reprezentacije točnosti matematičke znanosti. Znanstveno znanje, po njegovom mišljenju, je podijeljen u racionalna i inteligentna. Drugi je točniji, prema znanstveniku, budući da je bivši daje samo približne rezultate.

ideja

Osnovna ideja i koncept razlika račun povezan s funkcijom u malom susjedstvu određene točke. Za to je potrebno napraviti matematički aparat za funkcioniranje studija čije ponašanje u malom susjedstvu točaka postavljenih blizu ponašanje linearno ili polinoma. Na temelju ove definicije derivata i diferencijala.

Pojava pojma derivata uzrokovan velikim brojem problema prirodnih znanosti i matematike, što je dovelo do utvrđivanja graničnih vrijednosti istog tipa.

Jedan od glavnih zadataka koje se daju kao primjer, počevši s najstarijim školarce, je odrediti brzinu gibanja točke u ravnoj liniji i izgradnju tangenta na krivulje. povezane Diferencijalna na to, budući da je moguće približiti funkciju u malom susjedstvu točke linearno.

U usporedbi s konceptom derivata u funkciji stvarne varijable, definicija razlike jednostavno prolazi na funkciji opće prirode, osobito imidž euklidskog prostora u drugi.

derivat

Neka je točka pomiče u smjeru y-osi, za sada mi se x, koja se mjeri od početka trenutak. Opisuju takav pokret je moguće funkcije y = f (x), koji je povezan na svaku vremensku točku x koordinata pomičan točke. Ova funkcija poziva u mehanici da se zakon gibanja. Glavna karakteristika gibanja, posebno neujednačena, je trenutna brzina. Kada je točka pomiče uzduž osi y prema zakonu mehanike, slučajni vrijeme točka stekne koordinirati x f (x). U to vrijeme točka x + * H, gdje * H predstavlja prirast vremena, to će kordinaty f (x + * H). Tako formirana formula Δy = f (x + §H) - f (x), koji se naziva funkcija inkrement. To je točka na putu kojim prolaze za vrijeme od x do x + * H.

U vezi s pojavom brzine u vremenu derivat se primjenjuje. Derivat bilo funkcije u fiksnoj točki naziva granicu (pod pretpostavkom da postoji). To može biti upućeni na određene znakove:

f '(x), y', Y, df / dx, dy / dx, df (x).

Proces izračunavanja derivat diferencijacije poziva.

Diferencijalni račun funkcija više varijabli

Ovaj postupak se primjenjuje kod izračuna funkcija nekoliko studija, varijabli. Kada su dvije varijable x i y, parcijalni derivata u odnosu na x točke A naziva se derivat ove funkcije u x s fiksnom y.

Može biti označen sljedećim simbolima:

f '(x) (x, y), z' (x), ∂u / ∂x i ∂f (x, y) / ∂x.

Potrebne vještine

Kako bi se uspješno učiti i biti u stanju riješiti diffury potrebne vještine integracije i diferencijacije. Da bi se lakše razumjeti diferencijalne jednadžbe, mora se shvatiti temu derivata i neodređen integral. Isto tako ne boli naučiti tražiti derivat implicitne funkcije. To je zbog činjenice da u procesu učenja često će koristiti integrale i diferencijaciju.

Vrste diferencijalne jednadžbe

Gotovo sve kontrole rade povezano sa prvog reda diferencijalne jednadžbe, postoje 3 vrste jednadžbi: homogena, s odvojivim varijabli, linearna nehomogeni.

Tu su i više rijetkih vrsta jednadžbi s ukupnim razlikama, Bernoullijeva jednadžba, i drugi.

Osnove rješenja

Za početak, treba zapamtiti je algebarska jednadžba od školske godine. One sadrže varijable i brojeve. Kako bi se riješio konvencionalne jednadžbu treba naći dosta brojeva koji zadovoljavaju određeni uvjet. Obično, ove jednadžbe imaju jedan korijen, a za validaciju samo treba zamijeniti ovu vrijednost na mjesto nepoznato.

Diferencijalna jednadžba je sličan ovome. Općenito, jednadžba prvog reda obuhvaća:

• Nezavisna varijabla.
• Derivat prvog funkcije.
• Funkcija i ovisna veličina.

U nekim slučajevima, postoji svibanj biti nitko ne zna, x ili y, ali to nije toliko važno koliko je potrebno da se prvi derivat, bez većih derivatima kako bi se rješenje i diferencijalnog računa bila istina.

Riješite diferencijalnu jednadžbu - to znači da pronađete skup svih funkcija koje su pogodne s obzirom izraz. Takve skupine funkcija se često naziva opći nadzor rješenje.

integralni račun

Integralni račun je jedan od dijelova matematičke analize, koje ispituje koncept integralnih, svojstva i metode izračuna.

Često izračun integral javlja kod izračuna površine zakrivljenim oblikom. Na taj se način graničnu površinu, prema kojem je unaprijed određeno područje upisane poligona oblika s postupno povećanje u ruci, a strani podataka može učiniti manje od bilo kojeg ranije navedenog proizvoljnog male vrijednosti.

Osnovna ideja u izračun području bilo geometrijskih oblika izračunava površinu pravokutnika, onda postoje dokazi da je njegova površina je jednaka umnošku duljine po širini. Kada je riječ o geometriji, a zatim sve konstrukcije izrađene pomoću ravnala i kompas, a onda je odnos dužine prema širini je racionalna vrijednost. Kod izračuna površinu pravokutnog trokuta može se odrediti da ako stavite sljedeći trokut, pravokutnik je formirana. Na području paralelograma izračunavaju na sličan, ali malo složeniji način, unutar pravokutnika i trokuta. Na području poligona smatra trokutima uključenih u njemu.

U određivanju milost proizvoljan, ova metoda ne odgovara krivulju. Ako ga razbiti u pojedinim trgovima, ostat će neispunjena mjesta. U tom slučaju, pokušajte koristiti dva sloja, s pravokutnicima iznad i ispod, kao rezultat one uključuju graf funkcije i ne uključuje. Važno ovdje je način da se razbije ta pravokutnika. Također, ako uzmemo pauzu sve više i više smanjuje, područje na vrhu i na dnu bi trebao spojiti na određene vrijednosti.

To bi trebao vratiti na postupak razdvajanja na pravokutnike. Postoje dvije popularne metode.

Riemann je formalizirana definiciju integrala, stvorio Leibniza i Newtona, kao područje graf. U tom slučaju, smatra da je lik koji se sastoji od određenog broja vertikalnih pravokutnika dobivenih dijeljenjem intervala. Kada razbijanje pad postoji granica do kojih je smanjena površina takvog lika, ta granica se zove Riemann integral funkcije u određenom intervalu.

Drugi način je da se konstruirati Lebesgue integral, koji se sastoji u tome da na mjestu odvajanja određenog područja na dijelu integrandu i prikuplja onda integralnu sumu vrijednosti dobivene na ovim prostorima, u intervalima podijeliti svoj raspon vrijednosti, a zatim zbrajaju s odgovarajućim mjerama inverzne slike tih integrala.

moderna pomagala

Jedna od glavnih prednosti za proučavanje diferencijalne i integralni račun Fikhtengol'ts napisao - „diferencijala i integralni račun.” His udžbenik je temeljni alat za proučavanje matematičkih analiza, koja je izdržao mnogo izdanja i prijevode na druge jezike. Stvoren za studente i za dugo vremena koristi u raznim obrazovnim ustanovama kao jedan od glavnih prednosti studije. To daje teoretsku informacije i praktične vještine. Prvi put objavljena 1948. godine.

Funkcija Algoritam istraživanja

Kako bi istražili metode Diferencijalni račun funkcija, morate slijediti već dao algoritam:

1. Nađi domenu funkcije.
2. Nađi korijene dane jednadžbe.
3. Izračunajte krajnosti. Da biste to učinili, mi izračunati derivat i mjesta gdje je jednaka nuli.
4. Mi zamijeniti dobivene u jed vrijednost.

Sorti diferencijalne jednadžbe

Kontrola prvog reda (inače, diferencijalni račun jedne varijable) i njihovih tipova:

• Sa varijablama odvojene jednadžbe: f (y) = Dy g (x) dx.
• Najjednostavniji jednadžba ili diferencijalni račun funkcija jedne varijable, što ima formulu: y „= f (x).
• Linearna prvog reda nejednolika kontrola: y „+ P (X) Y = Q (x).
• Bernoullijeva diferencijalna jednadžba: y „+ P (x) y = P (x) y a.
• Jednadžbu ukupne razlike su: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Na diferencijalne jednadžbe drugog reda i njihovih tipova:

• Homogena linearni sekundarna diferencijalna jednadžba s konstantnim ^{koeficijentima: y n + py „+ QY} = 0 p, q pripada R.
• Nehomogena linearna sekundarna diferencijalna jednadžba s konstantnim koeficijentima ^{vrijednost: y n + py „+ QY} = f (x).
• Homogena linearna diferencijalna ^{jednadžba: y n + p (x)} y '+ q (x) y = 0, te nehomogena drugog ^{jednadžbi red: y n + p (x)} y' + q (x) y = f (x).

Diferencijalne jednadžbe viših redova i njihovih tipova:

• Diferencijalna jednadžba, čime omogućuje smanjenje ^{reda: F (x, y (k} ) y (k + ^{1) .., y (n)} = 0.
• Linearna jednadžba višeg reda ^{_{homogenog: y (n) + f (}} n- ₁₎ y ^(n-1) + ... + f ₁ y „+ f ₀ y = 0 i ^{_{y nehomogenog: (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y „+ f ₀ y = f (x).

Faze rješavanja problema s diferencijalnom jednadžbom

Uz pomoć daljinskog upravljača su riješeni ne samo matematiku ili fizičke probleme, ali i razni problemi biologije, ekonomije, sociologije i drugih. Unatoč raznim temama, treba slijediti jedan logički slijed za rješavanje tih problema:

1. Izrada kontrole. Jedan od najtežih faza, koja zahtijeva maksimalnu točnost, jer svaka greška će dovesti do potpuno pogrešnih rezultata. Potrebno je uzeti u obzir sve čimbenike koji utječu na proces i odrediti početne uvjete. Također se treba temeljiti na činjenicama i logičkim zaključcima.
2. Za rješavanje jednadžbi. Ovaj proces je lakše na prvu točku, jer zahtijeva samo strogu primjenu matematičkih izračuna.
3. Analiza i vrednovanje rezultata. Izvedena rješenje treba procijeniti za ugradnju praktične i teoretske vrijednosti rezultata.

Primjer uporabe diferencijalne jednadžbe u medicini

Korištenje daljinskog upravljača na području medicine nalazi se u izgradnji epidemiološke matematičkog modela. Ne treba zaboraviti da ove jednadžbe se također naći u biologije i kemije, koji su blizu medicine, jer igra važnu ulogu proučavanje različitih bioloških populacija i kemijskih procesa u ljudskom tijelu.

U ovom primjeru, epidemija širenja zaraze može biti tretirana u izoliranom zajednici. Stanovnici su podijeljeni u tri vrste:

• Inficirane, broj x (t), koja se sastojala od pojedinaca, zaraznih nosača, od kojih je svaki infekcije (vrijeme inkubacije je kratko).
• Drugi tip uključuje osjetljivi pojedinci y (t), može se zaraziti kontaktom sa zaraženim.
• Treći tip uključuje vatrostalne pojedince z (t), koji su imuni ili izgubio zbog bolesti.

Broj osoba stalno, imajući rođenje, prirodne smrti i migracija se ne smatra. U jezgri će se dvije hipoteze.

Posto bolesti u nekom vremenskom trenutku jednaka x (t) y (t) (na temelju pretpostavke o teoriji da je broj slučajeva u razmjeru s brojem raskrižja između pacijenata i odgovarajući članova, koja je u prvoj aproksimaciji proporcionalna x (t) y (t)), u stoga se broj slučajeva raste, a broj prijemljivih smanji na razinu koja se izračunava formulom osi y (t) (t) (a> 0).

Broj životinja koje nisu reagirali koji su umrli ili stečena imunost, povećane brzinom koja je proporcionalna broju slučajeva bx (t) (b> 0).

Kao rezultat toga, možete postaviti sustav jednadžbi sa sva tri pokazatelja na temelju svojih zaključaka.

Korištenje Primjer ekonomija

Diferencijalni račun se često koristi u ekonomskoj analizi. Glavni zadatak u ekonomskoj analizi smatra se proučavanje vrijednosti gospodarstva, koje vodi u obliku funkcije. To se koristi u rješavanju problema kao što su promjene u porezu na dohodak Odmah nakon toga, kotizacija, promjene u prihodima kada se mijenja vrijednost proizvoda, u kojem omjeru može biti zamijenjena s umirovljenih radnika s novom opremom. Za rješavanje takvih problema, potrebno je izgraditi komunikacijske funkcije ulaznih varijabli, koje, nakon što je proučio diferencijalnog računa.

U ekonomskoj sferi često je potrebno pronaći najoptimalnije pokazatelje: maksimalnu produktivnost rada, najveći prihod, najniži trošak i tako dalje. Svaki takav pokazatelj funkcija je jednog ili više argumenata. Na primjer, proizvodnja se može smatrati funkcijom izdataka rada i kapitala. S tim u vezi, pronalaženje odgovarajuće vrijednosti može se smanjiti na traženje maksimalne ili minimalne funkcije jedne ili više varijabli.

Takvi problemi stvaraju klasu ekstremnih problema u ekonomskom polju, za koje je potreban diferencijalni račun. Kada ekonomski pokazatelj mora biti minimiziran ili maksimiziran kao funkcija drugog indikatora, tada će u maksimalnoj točki omjer povećanja funkcije prema argumentima nulte ako povećanje argumenta nestaje. U suprotnom, kad takav stav ima tendenciju da ima neku pozitivnu ili negativnu vrijednost, navedena točka nije prikladna jer povećanjem ili smanjenjem argumenta moguće je promijeniti zavisnu vrijednost u potrebnom smjeru. U terminologiji diferencijalnog računanja to znači da je potreban uvjet za maksimum funkcije nula vrijednost njegovog derivata.

U gospodarstvu često postoje problemi u pronalaženju ekstremiteta funkcije s nekoliko varijabli, jer se gospodarski pokazatelji sastoje od mnogih čimbenika. Slična pitanja dobro su proučena u teoriji funkcija nekoliko varijabli koje primjenjuju metode diferencijalnog računanja. Takvi zadaci ne uključuju samo maksimizirane i minimizirane funkcije, ali i ograničenja. Slična pitanja se odnose na matematičko programiranje, a rješavaju se pomoću posebno razvijenih metoda, također temeljenih na ovom dijelu znanosti.

Među metodama diferencijalnog računanja koji se koristi u ekonomiji, važan dio je marginalna analiza. U ekonomskoj se sferi ovaj pojam odnosi na skup metoda za proučavanje varijabilnih pokazatelja i rezultata prilikom promjene volumena stvaranja, potrošnje, na temelju analize njihovih granica. Ograničavajući indeks je derivatni ili djelomični derivat s nekoliko varijabli.

Diferencijalni račun nekoliko varijabli važna je tema polja matematičke analize. Za detaljnu studiju mogu se koristiti razni pomagali za nastavu visokih učilišta. Jedan od najpoznatijih stvorenih Fichtenholz - "Tečaj diferencijalnog i integralnog kalkulatora". Kao što je vidljivo iz naslova, vještine u radu s integralima od iznimne su važnosti za rješavanje diferencijalnih jednadžbi. Kad se odigne diferencijalni račun funkcije jedne varijable, rješenje postaje jednostavnije. Iako, treba napomenuti, ona poštuje ista osnovna pravila. Da bi se prakticirala funkcija u diferencijalnom računu, dovoljno je slijediti već raspoloživi algoritam koji se daje u gornjim razredima škole i tek je malo kompliciran kada se upisuju nove varijable.