Linearni i homogena diferencijalna jednadžba prvog reda. Primjeri rješenja

Mislim da bismo trebali početi s povijesti slavnog matematičkog alata kao diferencijalne jednadžbe. Kao i sve diferencijalna i integralni račun, ove jednadžbe su izmislili Newton u kasnom 17. stoljeću. On vjeruje da je njegovo otkriće toliko važno da je čak i šifrirane poruke, koji danas može biti preveden na sljedeći način: „Sve prirodne zakone opisani pomoću diferencijalnih jednadžbi” Može se činiti pretjerano, ali to je istina. Svaki zakon fizike, kemije, biologije, može se opisati tih jednadžbi.

Ogroman doprinos razvoju i stvaranju teorije diferencijalnih jednadžbi imaju matematiku Euler i Lagrange. Već u 18. stoljeću otkrili i razvili ono što je sada studira na viši studija.

Novi korak u proučavanju diferencijalne jednadžbe počeo zahvaljujući Anri Puankare. On je stvorio „kvalitativne teorije diferencijalnih jednadžbi”, koja u kombinaciji s teorijom funkcija kompleksne varijable značajno doprinijeli osnivanju topologije - znanosti o svemiru i njegovih svojstava.

Što su diferencijalne jednadžbe?

Mnogi ljudi se boje za izraz „diferencijalna jednadžba”. Međutim, u ovom članku ćemo postaviti detaljno suštinu ovog vrlo koristan matematički alat koji je zapravo nije tako komplicirano kao što se čini iz naslova. Da bi se počelo govoriti o diferencijalna jednadžba prvog reda, najprije se morate upoznati s osnovnim pojmovima koji su inherentno povezana s ovom definicijom. A mi ćemo početi s diferencijalom.

diferencijal

Mnogi ljudi znaju taj pojam još od srednje škole. Međutim, i dalje boraviti na njemu u detalje. Zamislite graf funkcije. Mi to može povećati do te mjere da je bilo koji od svog segmenta postaje ravnu crtu. To će potrajati dva boda koja su beskrajno blizu jedna drugoj. Razlika između njihovih koordinata (x ili y) je beskrajno mala. I to se zove diferencijalni i likovi odrediti Dy (diferencijalni Y) i DX (diferencijalni x). Važno je razumjeti da je diferencijal nije konačan vrijednost, a to je značenje, a glavna funkcija.

A sada morate uzeti u obzir sljedeće elemente, koje ćemo morati objasniti pojam diferencijalne jednadžbe. To - derivat.

derivat

Svi od nas mora imati čuli u školi i ovim pojmom. Kažu da je derivat - je stopa rasta ili smanjenja funkcije. Međutim, ova definicija postaje zbunjujući. Pokušajmo objasniti izvedenih uvjete za razlike. Vratimo se na infinitezimalni interval funkcija s dvije točke, koje se nalaze na minimalnoj udaljenosti jedni od drugih. No, čak i izvan ove funkcije na daljinu je vrijeme za promijeniti neke vrijednosti. I opisati tu promjenu i dolazi do derivat koji bi se inače pisane kao omjer od razlika: f (x) „= df / dx.

Sada je potrebno uzeti u obzir osnovna svojstva derivata. Postoje samo tri:

1. Derivat zbroj ili razlika može biti predstavljen kao zbroj ili razlika derivata: (a + b) = a + b ' „i (ab)” = vlastiti a-b”.
2. Drugi objekt je povezana s umnožavanja. Izvedeni radi - je zbroj od djela jednog funkcije u drugi derivat: (a * b) '= a' * b + a * b”.
3. Derivat razlike može zapisati kao prema sljedećoj jednadžbi: (a / b) = (a '* ba * b „) / b ^2.

Sve ove značajke dolaze u ruci za pronalaženje rješenja za diferencijalne jednadžbe prvog reda.

Također, postoji djelomični derivati. Pretpostavimo da imamo funkciju z, što ovisi o varijabli x i y. Za izračunavanje djelomičnog derivat ovu funkciju, na primjer, u x, moramo uzeti varijable Y za stalna i lako razlikovati.

sastavni

Drugi važan koncept - integralni. U stvari, to je suprotno od derivata. Integrali nekoliko vrsta, ali najjednostavnije rješenja diferencijalnih jednadžbi, trebamo najviše trivijalne neodređeno integrale.

Dakle, ono što je sastavni? Recimo da imamo neki odnos f x. Mi uzeti od njega sastavni i dobiti funkciju f (x) (to se često naziva i primitivan), što je izvedenica od izvorne funkcije. Stoga F (x) = f (x). To također znači da je integral derivata jednaka izvornoj funkciji.

U rješavanje diferencijalnih jednadžbi je vrlo važno shvatiti značenje i svrhu sastavni, jer vrlo često moraju uzeti ih za pronalaženje rješenja.

Jednadžbe su različiti, ovisno o njihovoj prirodi. U sljedećem poglavlju ćemo pogledati vrsta prvog reda diferencijalne jednadžbe, a zatim naučiti kako ih riješiti.

Klase diferencijalne jednadžbe

„Diffury” podijeljena po nalogu derivata koji su uključeni u njih. Tako je prvi, drugi, treći ili više naloga. Oni također mogu se podijeliti u nekoliko klasa: obične i parcijalne.

U ovom članku, mi ćemo razmotriti običnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda. Primjeri i rješenja ćemo raspravljati u sljedećim poglavljima. Smatramo samo TAC jer je najčešći tipovi jednadžbi. Obična podijeljen u podvrste: s odvojivim varijablama, homogene i heterogene. Zatim ćete naučiti kako se razlikuju jedni od drugih, i naučiti kako ih riješiti.

Osim toga, ove jednadžbe mogu se kombinirati, tako da nakon što smo dobili sustav diferencijalnih jednadžbi prvog reda. Takvi sustavi, mi također pogledati i naučiti kako riješiti.

Zašto uzimamo u obzir samo prvi red? Budući da je potrebno početi s jednostavan i opisati sve povezane s diferencijalnih jednadžbi, u jednom članku je nemoguće.

Jednadžbe s odvojivim varijabli

Ovo je možda najjednostavniji prvi red diferencijalne jednadžbe. To su primjeri koji se mogu napisati kao: y „= f (x) * f (y). Riješiti ovu jednadžbu trebamo zastupanja formulu derivat kao omjer od razlike: y „= dy / dx. Uz to dobivamo jednadžbu: dy / dx = f (x) * f (y). Sada možemo obratiti načinu rješavanja standardnih primjera: odvojiti varijable u dijelovima, odnosno brzo naprijed sve varijable Y u dijelu gdje se nalazi dy, a također bi varijablu x ... Dobivamo jednadžbu oblika: dy / f (y) = f (x) DX, što se postiže uzimanjem integrala dva dijela. Ne zaboravite konstanta koju želite staviti nakon integracije.

Rješenje bilo „diffura” - je funkcija x i y (u našem slučaju), ili ako postoji brojčana stanje, odgovor je broj. Neka nas ispitati konkretan primjer cijeli tijek odluke:

y „= 2y * sin (x)

Prijenos varijable u različitim smjerovima:

dy / y = 2 * sin (x) dx

Sada uzeti integrale. Svi oni se mogu naći u posebnom stolu integrali. I mi se:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Ako je potrebno, možemo izraziti „Y” u funkciji „X”. Sada možemo reći da je naša diferencijalna jednadžba riješena, ako nije navedeno stanje. Navedena stanja mogu biti, na primjer, y (n / 2) = e. Onda ćemo jednostavno zamijeniti vrijednost tih varijabli u odluci i pronaći vrijednost konstante. U našem primjeru, to je jedan.

Homogene prvi red diferencijalne jednadžbe

Sada se na složenijih dijelova. Homogene prvi red diferencijalne jednadžbe može biti napisan u općem obliku kao: y „= z (x, y). Treba napomenuti da je pravo funkcija dviju varijabli je jedinstvena, a to ne može biti podijeljena u dvije, ovisno o: z x i z y. Provjerite je li jednadžba homogena ili ne, vrlo je jednostavna: mi napraviti zamjenu x = k * x i y = k * y. Sada smo smanjiti sve k. Ako su ta slova pao, tada jednadžba homogena i mogu sigurno nastaviti na njegovom rješenju. Gledajući naprijed, mi kažemo: načelo rješavanje tih primjera je također vrlo jednostavan.

Mi moramo napraviti ulazak: y = f (x) * x, gdje je t - funkcija koja ovisi o x. Tada možemo izraziti derivata: y '= t' (x) * x + t. Uvrštavanjem sve to u našu originalnu jednadžbu i pojednostavljivanje, imamo primjer odvajanja varijable t kao x. Riješiti je pribaviti i ovisnost t (x). Kad smo ga dobili, jednostavno zamijeniti naš prethodni supstitucije y = T (x) * x. Tada dobivamo ovisnost y na x.

Da bi se jasnije, mi ćemo shvatiti primjer: x * y „= yx * e y / x.

Prilikom provjere zamjenu svih opadanju. Dakle, jednadžba stvarno homogena. Sada bi još izmjenu, razgovarali smo o: y = f (x) * x i y '= t' (x) * x + t (x). Nakon pojednostavljenja sljedeća jednadžba: t „(x) * X = -e t. Mi smo odlučili uzeti uzorak s odvojenim varijabli i ^{dobijemo: e t = ln (C *} x). Mi samo trebate zamijeniti t po y / x (jer ako je y = t * x, onda t = y / x), a mi smo dobili ^{odgovor: e -y / x = ln (} x * C).

Linearna diferencijalna jednadžba prvog reda

To je vrijeme da razmislite još široku temu. Mi ćemo gledati heterogenih prvog reda diferencijalne jednadžbe. Kako se razlikuju od prethodne dvije? Neka je to lice. Linearni prvi red diferencijalne jednadžbe u općem obliku jednadžbe mogu se napisati ovako: y „+ g (x) + y = z (x). Treba razjasniti da z (x) i g (x) mogu biti konstantne vrijednosti.

Evo primjera: y „- y * x = x ^2.

Postoje dva načina za rješavanje, a mi naručiti Neka nas ispitati oboje. Prvi - metoda varijacije proizvoljnih konstanti.

Kako bi riješio jednadžbu na ovaj način, potrebno je izjednačiti prvu desnu stranu na nulu, i riješiti nastalu jednadžbu koja je nakon prijenosa dijelova postaje:

y „= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = xdx;

ln | Y | x = ^2/2 = C;

y = e ^{x 2/2} * ^C y = _C1 * e ^{X2 / 2.}

Sada je potrebno zamijeniti stalni _C1 na funkcije v (x), što ćemo naći.

y = v * e ^{X2 / 2.}

Nacrtati derivata zamjena:

^{y '= V * e x2} / ² * X * v e ^{X2 / 2.}

I zamjenom tih izraza u originalnim izrazom:

v „* E ^{X2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Možete vidjeti da je u lijevu stranu ova dva izraza su smanjeni. Ako neki primjer da se nije dogodilo, onda ste učinili nešto loše. Mi i dalje:

v „* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Sada smo riješiti uobičajene jednadžbu u kojoj želite razdvojiti varijable:

dv / dx = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

DV = x ² x e ^{- x2 / 2} dx.

Za uklanjanje integralni, moramo primijeniti integracije po dijelovima ovdje. Međutim, to nije tema ovog članka. Ako ste zainteresirani, možete naučiti sami za obavljanje takve radnje. To nije teško, a sa dovoljno znanja i pažnje nije dugotrajan.

Se odnosi na drugi postupak otopinu od nehomogena jednadžbi: Bernoulli metoda. Što je pristup brže i lakše - to je do vas.

Dakle, pri rješavanju ove metode, moramo napraviti ulazak: y = k * n. Evo, k i n - neke funkcije, ovisno o x. Tada je derivat će izgledati ovako: y '= k' * n + k * n”. Zamjena dvije supstitucije u jednadžbi:

k '* n * k + n ' + x * k * n = x ^2.

Grupa gore:

k '* n * k + ( n + x * n) = x ^2.

Sada je potrebno izjednačiti na nulu, što je u zagradama. Sada, ako se kombiniraju dva proizlaze jednadžbe, dobivamo sustav prvog reda diferencijalnih jednadžbi koje treba riješiti:

n + x * n = 0;

k „* n = ^{2 x.}

Prva jednakost odlučiti kako uobičajenu jednadžbu. Da biste to učinili, morate odvojiti varijable:

dn / dx = x * v;

dn / n = xdx.

Vodimo integralni i dobivamo: ln (n) = x ^2/2. Zatim, ako se izraziti n:

n = e ^{x 2/2.}

Sada zamjena dobivenu jednadžbu u drugu jednadžbu:

K „* e ^{x2 / 2} = x ^2.

I pretvarajući, dobivamo istu jednadžbu kao u prvom postupku:

dk = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Također, nećemo raspravljati daljnje akcije. On je rekao da je u prvih prvog reda diferencijalne jednadžbe rješenje uzrokuje znatne poteškoće. Međutim, dublje uranjanje u temu počinje da se bolje i bolje.

Gdje su diferencijalne jednadžbe?

Vrlo aktivni diferencijalne jednadžbe koriste u fizici, kao i gotovo sve osnovne zakone napisane u diferencijalnom obliku, kao i one formule, da vidimo - rješenje tih jednadžbi. U kemiji, oni se koriste za isti razlog: osnovni zakoni su izvedeni kroz njih. U biologiji, diferencijalne jednadžbe koriste se za modeliranje ponašanja sustava, kao što predator - plijen. Oni se također može koristiti za stvaranje modela reprodukcije, na primjer, kolonije mikroorganizama.

Kao diferencijalne jednadžbe pomoći u životu?

Odgovor na to pitanje je jednostavan: ništa. Ako niste znanstvenik ili inženjer, malo je vjerojatno da će biti koristan. Međutim, nije naodmet znati što diferencijalnu jednadžbu i to je riješeno za sveukupni razvoj. A onda je riječ o sinu ili kćeri „što je diferencijalna jednadžba?” Zar ne staviti u slijepu ulicu. Pa, ako ste znanstvenik ili inženjer, onda znate važnost ove teme u bilo znanosti. Ali što je najvažnije, da je sada na pitanje „kako riješiti diferencijalnu jednadžbu prvog reda?” uvijek ćete biti u mogućnosti dati odgovor. Slažem se, to je uvijek lijepo kad ste shvatili da je ono što su ljudi čak bojali saznati.

Glavni problemi u istraživanju

Glavni problem u razumijevanju ove teme je loša navika integracije i diferencijacije funkcija. Ako ste neugodno PREUZIMANJA derivata i integrali, to je vjerojatno više vrijedi učiti, učiti različite metode integracije i diferencijacije, a tek onda prijeći na proučavanje materijala koji je opisan u članku.

Neki ljudi se čude kako bi saznali da dx može prenijeti, kako je ranije (u školi) tvrdio je da je broj dy / dx je nedjeljiva. Zatim morate čitati literaturu o derivata i shvatiti da je to stav beskonačno malim količinama, koje se može manipulirati u rješavanju jednadžbi.

Mnogi ljudi ne odmah shvatiti da je rješenje diferencijalne jednadžbe prvog reda - to je često funkcija ili neberuschiysya integralni, i to obmana im daje puno problema.

Što još može proučavati kako bi bolje razumjeli?

To je najbolje početi daljnje uranjanje u svijet razlika račun specijaliziranih udžbenika, na primjer, u matematičku analizu za studente koji nisu matematičkih specijaliteta. Tada možete premjestiti na više stručne literature.

On je rekao da, osim diferencijala, još uvijek postoje integralne jednadžbe, tako da ćete uvijek imati nešto težiti i što studirati.

zaključak

Nadamo se da će nakon čitanja ovog članka imat ćete predodžbu o tome što su diferencijalne jednadžbe i kako ih riješiti ispravno.

U svakom slučaju, matematike na bilo koji način koristan za nas u životu. Ona razvija logiku i pažnju, bez koje je svaki čovjek, kao i bez ruke.