Razlike - što je to? Kako pronaći razlike funkcije?

Zajedno sa derivatima njihove funkcije razlike - to neke od osnovnih koncepata diferencijalnog računa, glavni odjeljak matematičke analize. Kao neraskidivo povezani, oba od njih nekoliko stoljeća naširoko koristi u rješavanju gotovo svih problema koji su se pojavili tijekom znanstvene i tehničke djelatnosti.

Pojava pojma diferencijala

Po prvi put je jasno da takvu razliku, jedan od osnivača (zajedno s Isaakom Nyutonom) Diferencijalni račun poznati njemački matematičar Gotfrid Vilgelm Leybnits. Prije toga matematičari 17. stoljeća. koristiti vrlo nejasne i nejasne ideje o nekom infinitezimalni „nepodijeljena” od bilo koje poznate funkcije, što predstavlja vrlo mali stalnu vrijednost, ali nije jednaka nuli, ispod koje vrijednosti funkcija ne može biti jednostavno. Stoga samo jedan korak uvođenja pojmova infinitezimalnih koracima od funkcija i njihovih argumenata koracima od funkcija koje se mogu izraziti u terminima derivata potonje. I ovaj korak poduzet gotovo istodobno iznad dva velika znanstvenika.

Temelji se na potrebi rješavanja hitnih praktičnih mehanika probleme koji se suočavaju znanost razvija vrlo brzo industrije i tehnologije, Newton i Leibniz stvorili zajedničke načine pronalaženja funkcije stope promjene (osobito s obzirom na mehaničke brzine tijela poznatog putanje), što je dovelo do uvođenja tih koncepata, kao derivat funkcije i diferencijala, a također pronašao algoritam inverzni rješenja problema kao što je poznato sebi (varijable) po ubrzava prešao pronaći put koji je doveo do pojma sastavni Alabama

U djelima Leibniza i Newtona ideju prvi je ukazao da su razlike - proporcionalna je povećanje od osnovnih argumenata * H koracima Δu funkcije koje se mogu uspješno primijeniti za izračunavanje vrijednosti potonjeg. Drugim riječima, oni su otkrili da funkcija prirast može biti na bilo kojoj točki (u svojoj domeni definiciji) je izražen kroz svoje derivata kako Δu = y „(x) * H + αΔh gdje α * H - ostatak, teži nuli kako ðH → 0, mnogo brže nego stvarni * H.

Prema osnivačima matematičku analizu, a razlike - to je upravo prvi termin u koracima od bilo koje funkcije. I bez jasno definirane sekvence granica pojam podrazumijeva se da intuitivno diferencijal vrijednost derivata teži da funkcionira kada §H → 0 - Δu / §H → y „(x).

Za razliku od Newtona, koji je prije svega fizičar i matematički aparat smatra kao pomoćni alat za proučavanje fizičkih problema, Leibniz je platio više pozornosti na ovaj alat, uključujući i sustav vizualnih i razumljivih simbola matematičke vrijednosti. On je bio taj koji je predložio standardnu notaciju za razlike funkcije dy = y „(x) dx, dx, a derivat argumenta funkcije kao njihov odnos y” (x) = dy / dx.

Moderna definicija

Koja je razlika u odnosu na moderne matematike? To je usko povezano s konceptom promjenjivog prirasta. Ako je y varijabla ima prvu vrijednost y y = _1, y = y _2, y ₂ razlika ─ y ₁ se naziva prirast vrijednosti y. Prirast može biti pozitivan. negativne i nula. Riječ „prirast” označen d, Δu snimanje (čitaj „delta y”) označava vrijednost prirasta y. tako Δu y = ₂ ─ y _1.

Ako je vrijednost Δu proizvoljan funkcija y = f (x) može se prikazati kao Δu = A * H + a, u kojima je ne ovisnost o * H, t, E. A = const za danu x, a izraz α kada §H → 0 teži to je čak i brže od stvarnog * H, onda je prvi ( „master”) pojam proporcionalna * H, a za y = f (x) diferencijalom, označen dy ili df (x) (čitaj "y de", "de eff od X"). Dakle razlika - je „glavni” linearno u odnosu na komponente koracima * H funkcija.

mehaničko objašnjenje

Neka s = f (t) - udaljenost u ravnoj liniji kreće materijala točku od početne pozicije (t - vrijeme putovanja). Prirast Δs - je način na točku u vremenskom intervalu At, a diferencijalna ds = f „(t) Dt - ovaj put, koji će biti točka održana u isto vrijeme Dt, ako je zadržao brzinu f” (t), postignut u trenutku t , Kada infinitezimalna Dt DS imaginarni put se razlikuje od stvarnog Δs beskonačno ima veći red u odnosu na Dt. Ako je brzina u trenutku t nije jednak nuli, približnu vrijednost DS daje malu pristranost točku.

geometrijska interpretacija

Neka linija L je graf y = f (x). Zatim Δ x = MQ, Δu = QM „(vidi, sliku ispod). Tangenta MN razbija Δu izrezati na dva dijela, QN i NM”. Prvi i §H proporcionalna QN = MQ ∙ Tg (kut) = QMN §H F „(X) t, E je QN dy diferencijal.

Drugi dio razlike Δu NM'daet ─ dy, kada * H duljina → 0 NM „smanjuje čak brže od prirasta argumenta, tj ima redoslijed malenkosti viši od * H. U ovom slučaju, ako je f „(x) ≠ 0 (bez paralelne tangente OX) segmenata QM'i QN ekvivalent; drugim riječima NM „naglo opada (redoslijed malenkosti njegova viša) od ukupno prirasta Δu = QM”. To je vidljivo na slici (približava segment M'k M NM'sostavlyaet sve manji postotak QM „segment).

Dakle, grafički diferencijalna proizvoljna funkcija je jednaka prirasta ordinati od tangente.

Derivacija i diferencijal

Faktor u prvom trajanju od izraz prirasta funkcije je jednak vrijednosti njenog derivata f „(X). Tako, sljedeći odnos - dy = f '(x) * H ili df (x) = f' (x) * H.

Poznato je da je prirast nezavisne argument je jednak njegovoj diferencijalnoj * H = dx. Prema tome, možemo pisati: f „(x) dx = dy.

Pronalaženje (ponekad kažu da je „odluka”) razlika se izvodi po istim pravilima kao i za derivata. Popis njih je dano u nastavku.

Što je više univerzalna: prirast argumenta ili njegova diferencijalom

Ovdje je potrebno napraviti neke pojašnjenja. Zastupanje vrijednost f „(x) diferencijal * H moguće kada je u pitanju X kao argument. No funkcija može biti složen, gdje x može biti funkcija argumenta t. Tada je reprezentacija različito ispoljavanje f „(x) * H, u pravilu, to je nemoguće; osim u slučaju linearne ovisnosti x = pri + b.

Kao u formuli f „(x) dx = dy, tada u slučaju samostalnog argument x (dx = zatim §H) u slučaju ovisnosti o parametarsko x t je diferencijal.

Na primjer, izraz 2 x §H je za y = x ² njegova diferencijalne kada x je argument. Sada je x = t ² i pretpostaviti t argument. Zatim y = x ² = t ^4.

Nakon toga slijedi (t + At) ^2-t-2 + ² 2tΔt + ^At. Stoga §H = 2tΔt + At ^2. Stoga: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + At ^2).

Ovaj izraz nije proporcionalna Dt, pa je sada 2xΔh ne diferencijal. Ona se može naći od jednadžbi y = x ² = t ^4. Je jednaka dy = 4t ³ Dt.

Ako uzmemo izraz 2xdx, to je za bilo koji argument t diferencijalni y = ^x2. Štoviše, kada je x = ² t dobije dx = 2tΔt.

Tako 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t, E. Ekspresijski razlike zabilježene dvije različite varijable podudarati.

Zamjena koracima razlike

Ako f „(x) ≠ 0, onda Δu i dy ekvivalenta (kada §H → 0); ako f „(x) = 0 (značenja i dy = 0), nisu ekvivalentni.

Na primjer, ako je Y = x ^2, tada Δu = (x + §H) ² x ² = ─ 2xΔh + §H ² i dy = 2xΔh. Ako je x = 3, tada imamo Δu = 6Δh + * H ² i dy = 6Δh koji su ekvivalentni zbog * H ² → 0, kada je x = 0 vrijednost Δu = * H ² i dy = 0 nisu ekvivalentni.

Ova činjenica, zajedno s jednostavnim strukture diferencijala (m. E. Linearnost u odnosu na * H), često se koristi u približnom izračunu, na pretpostavci da Δu ≈ dy za mala * H. Nađi diferencijal funkcija je obično lakše nego izračunati točnu vrijednost prirasta.

Na primjer, imamo metalne kocke s ruba x = 10,00 cm. Na grijanje rub trajalo na * H = 0,001 cm. Kako povećanog volumena kocke V? Imamo V = x ^2, tako da dV = 3x ² = 3 * H ∙ ∙ ^10. veljače 0/01 = 3 ^(cm3). Povećana AV ekvivalent diferencijal dV, da AV-3 ^cm3. Cijeli proračun će dati ³ AV = 10,01 ─ Ožujak ¹⁰ = 3.003001. No, rezultat svih znamenki osim prvog nepouzdana; dakle, to je još uvijek potrebno zaokružiti do 3 cm ^3.

Očito, ovaj pristup je koristan samo ako je moguće procijeniti vrijednost koja dolazi s pogreškom.

Diferencijal funkcije: primjeri

Pokušajmo pronaći razlike funkcije y = x ^3, pronalaženje derivata. Neka nam daju argument inkrement Δu i definirati.

Δu = (* H + x) ³ x ³ = ─ 3x ² + H (§H 3xΔh ² + ^3).

Ovdje je koeficijent A = 3x ² ne ovisi o * H, tako da je prvi termin je proporcionalna * H, a drugi član 3xΔh * H ² + ³ kad * H → 0 opada brže od prirasta argumenta. Prema tome, član 3x ² * H je diferencijalni y = x ^3:

dy = 3x ² * ^H-2 3x dx ili d (x ³⁾ = 3x ² dx.

Gdje je d (x ^3), / = dx 3x ^2.

Dy Sada pronaći funkcija y = 1 / x po derivata. Zatim d (1 / x) / dx = ─1 / ^x2. Stoga dy = ─ §H / ^x2.

Razlike u osnovne algebarske funkcije su dane u nastavku.

Približna izračuni pomoću diferencijalnih

Za procjenu funkcije f (x), a njegov derivat f „(x) na x = a često je teško, ali da učine isto u blizini x = a nije lako. Zatim dolaze u pomoć približnom izrazu

f (a + §H) ≈ f „(a) §H + f (a).

To daje približnu vrijednost funkcije u malim koracima kroz svoju diferencijalnu * H f „(a) * H.

Stoga, ova formula daje približne izraz za funkciju u krajnjoj točki dijela dužine §H kao zbroj vrijednost na početne točke dijela (x = a) i razlici u istom početnu točku. Točnost metode za određivanje vrijednosti funkcije u nastavku prikazuje crtež.

Međutim, poznati i točan izraz za vrijednost funkcije x = a + §H dani formulom konačnih koracima (ili, alternativno, Lagrangeov formula)

f (a + §H) ≈ f „(ξ) §H + f (a),

gdje je točka x = a + ξ je u rasponu od x = A do x = a + * H, iako njegova točna pozicija je nepoznat. Točna formula omogućuje procjenu pogrešku približnoj formuli. Ako stavimo u Lagrange formuli ξ = * H / 2, iako prestaje biti točna, ali daje se, u pravilu, puno bolji pristup nego izvorni izraz u smislu diferencijala.

formula Evaluacija greška primjenom diferencijala

Mjerni instrumenti , u načelu, neprecizne i dovesti do mjernih podataka koji odgovaraju pogreške. Karakterizira ih ograničava apsolutnu pogrešku, ili, ukratko, granična pogreška - pozitivan, očito prelazi grešku u apsolutnom iznosu (ili najviše jednaka njega). Ograničavanje relativnu pogrešku zove se kvocijent dobiven dijeljenjem apsolutne vrijednosti izmjerene vrijednosti.

Neka točnu formulu y = f (x) funkcija se koristi za vychislyaeniya y, ali je vrijednost x je mjerni rezultat, a time dovodi y pogrešku. Zatim, kako bi pronašli ograničavajući apsolutna pogreška │Δu│funktsii y, pomoću formule

│Δu│≈│dy│ = │ f „(x) ││Δh│,

gdje │Δh│yavlyaetsya marginalna greška argument. │Δu│ količina mora biti zaobljen prema gore, kao netočan izračun sama je zamjena prirasta na diferencijalnu izračuna.