Sustav linearnih jednadžbi. Homogena sustav linearnih jednadžbi

U školi, svaki od nas je proučavao jednadžbe i, svakako, sustav jednadžbi. Ali mnogi ljudi ne znaju da postoji nekoliko načina kako ih riješiti. Danas ćemo točno vidjeti sve metode za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi, koje se sastoje od više od dvije jednadžbe.

priča

Danas znamo da je umjetnost rješavanje jednadžbi i njihove sustave nastao u drevnom Babilonu i Egiptu. Međutim, jednakost u svom poznatom obliku pojavio nam se nakon pojave znaka jednakosti „=”, koji je uveden 1556. godine prema engleskom matematičar rekord. Usput, ovaj simbol je izabran s razlogom: to znači dvije paralelne jednake dijelove. Doista, najbolji primjer jednakosti ne dolazi gore.

Osnivač modernog slova i simboli nepoznatog mjeri, francuski matematičar Fransua Viet. Međutim, njegova oznaka je značajno različita od danas. Na primjer, kvadrat nepoznatog broja je označen slovom Q (lat „Kvadratom”.), I kocka - (lat. „Cubus”) slovo C. Ovi simboli se sada čini neugodno, ali tada je bilo najviše intuitivan način napisati sustava linearnih algebarskih jednadžbi.

Međutim, nedostatak je u prevladavajućim načinima rješenja je da su matematičari u obzir samo pozitivne korijene. Možda je to zbog činjenice da se negativne vrijednosti nemaju nikakvu praktičnu primjenu. Jedan ili drugi način, ali prvi koji će uzeti u obzir negativne korijenje počela je nakon talijanske matematike Niccolo Tartaglia, Girolamo Cardano i Rafael Bombelli u 16. stoljeću. Moderan izgled, glavna metoda rješavanja kvadratne jednadžbe (kroz diskriminacijska) osnovana tek u 17. stoljeću kroz djela Descartes i Newton.

U sredini švicarskog matematičara 18. stoljeća Gabriel Cramer pronašao novi način kako bi rješenje sustava linearnih jednadžbi lakše. Ova metoda je kasnije dobio ime po njemu, i do danas ga koristimo. No, o načinu Kramer je razgovor malo kasnije, ali za sada ćemo raspraviti linearne jednadžbe i njihova rješenja odvojeno od sustava.

linearnih jednadžbi

Linearnih jednadžbi - najjednostavniji jednadžba varijable (i). Oni pripadaju algebarskih. Linearnih jednadžbe napisano u općem obliku kako slijedi: * ₁ x ₁ + _{2 * 2} x + ... _n * x _n = b. Podnošenje ovog obrasca ćemo morati u pripremi sustava i matrica dalje.

Sustav linearnih jednadžbi

Definicija ovog pojma je: skup jednadžbi koje imaju zajedničke nepoznanica i opće rješenje. Tipično, u školi sve riješiti sustav s dva ili čak tri jednadžbe. No, tu su sustavi s četiri ili više komponenti. Pogledajmo najprije kako ih zapisati, tako da kasnije to odgovaralo riješiti. Prvo, sustav linearnih algebarskih jednadžbi će izgledati bolje ako su sve varijable piše kao X s odgovarajućim indeksom: 1,2,3 i tako dalje. Drugo, treba voditi sve jednadžbe za kanonske dobio: ₁ * ₁ + x ₂ x _{* 2} + ... _n * x _n = b.

Nakon svih ovih koraka, možemo početi vam reći kako pronaći rješenje sustava linearnih jednadžbi. Vrlo mnogo za koji će doći u ruci matrice.

matrica

Matrix - tablica koja se sastoji od redaka i stupaca, a njegovi elementi su na njihovom sjecištu. To može biti bilo određenu vrijednost ili varijablu. U većini slučajeva za označavanje elemenata koji su postavljeni ispod podklase (npr ₁₁ ili ₂₃ jažica). Prvi indeks pokazuje broj retka, a drugi - stupac. Iznad matrice kao što je ranije i bilo koji drugi matematički elementa može obavljati različite operacije. Dakle, možete:

1) Oduzmite i dodajte istu veličinu stola.

2) Pomnožiti matricu za bilo koji broj ili vektorom.

3) Prenijeti: transformacija matrice linije u stupcima, a stupovi - u skladu.

4) Pomnoži matricu, ako je broj redaka jednak jednom od njih različit broj stupaca.

Raspraviti u detalje sve ove tehnike, kao što su oni korisni za nas u budućnosti. Oduzimanje i dodatak matrica je vrlo jednostavan. Budući da uzmemo iste veličine matrice, svaki element jedan stol je povezana na svaki drugi element. Tako smo dodali (oduzimanje) dva od tih elemenata (važno je da su stajali na istom terenu u svojim matrice). Kada pomnožen brojem matrice ili vektora jednostavno pomnožiti svaki element matrice pomoću tog broja (ili vektor). Prenošenje - vrlo zanimljiv proces. Vrlo zanimljivo ponekad da ga vidim u stvarnom životu, na primjer, kada se mijenja orijentaciju tableta ili telefona. Ikone na radnoj površini je matrica, te s promjenom položaja, on je prenesena i postaje širi, ali se smanjuje u visinu.

Neka nas ispitati više procesa, kao što su množenja matrica. Iako nam je rekao, i nije korisno, ali imajte na umu da je još uvijek koristan. Pomnožite dvije matrice mogu biti samo pod uvjetom da je broj stupaca u jednoj tablici jednak broju redaka druge. Sada se jedna matrica linija elemente i druge elemente odgovarajućeg stupca. Umnožiti ih međusobno te suma (tj, na primjer, proizvod od elemenata ₁₁ i ₁₂ i na ₁₂ i ₂₂ b, b će biti jednak: a * b + _{11 12 12} * b i _22). Dakle, jedan stol predmet i metoda slično tome dalje ispunjena.

Sada možemo početi razmišljati o tome kako riješiti sustave linearnih jednadžbi.

gaus

Ova tema je počela odvijati u školi. Vrlo dobro znamo koncept „sustava dviju linearnih jednadžbi” i znati kako ih riješiti. No, što ako je broj jednadžbi veći od dva? To će nam pomoći Gauss metoda.

Naravno, ova metoda je pogodan za korištenje, ako se napravi matricu sustava. No, ne možete ga pretvoriti i odlučuje na svojim nogama.

Dakle, kako to riješiti pomoću sustava linearnih jednadžbi Gauss? Usput, iako ove metode i dobio ime po njemu, ali je otkrio da je u davna vremena. Gauss je operaciju provesti s jednadžbama, na kraju rezultirati u ukupnosti do postroj obliku. To je, morate odozgo prema dolje (ako je ispravno mjesto) od prve do posljednje jednadžbe oslabila jedan nepoznati. Drugim riječima, moramo biti sigurni da imamo, recimo, tri jednadžbe: prvi - tri nepoznanice, u drugom - dva u trećem - jedan. Zatim, od zadnje jednadžbe, nalazimo prvi nepoznato, zamijeniti svoju vrijednost u drugi ili prvi jednadžbe, i dalje naći preostale dvije varijable.

Cramer je pravilo

Za razvoj ove tehnike je bitno svladati vještine toga, oduzimanje matrica, kao i potrebu da bude u mogućnosti naći odrednice. Stoga, ako ste neugodno to sve ili ne znam kako, potrebno je učiti i biti osposobljeni.

Što je bit ove metode, i kako to učiniti, da se sustav linearnih jednadžbi Cramer? To je vrlo jednostavno. Moramo izgraditi matricu brojeva (gotovo uvijek) koeficijenata sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Da biste to učinili, jednostavno uzeti broj od nepoznatog, a mi dogovoriti stol u redoslijedom kojim su snimljene u sustavu. Ako prije nego što je broj je znak „-”, tada pišemo negativni koeficijent. Dakle, napravili smo prvi matricu koeficijenata nepoznanica, ne uključujući broj nakon znaka jednakosti (naravno, da je jednadžba mora biti sveden na kanonskom obliku, kada je pravo je samo broj, a lijeva - sve nepoznanice s koeficijentima). Zatim morate napraviti nekoliko matrica - jedan za svaku varijablu. U tu svrhu, u prvoj matrici zamjenjuje jedan stupac svaki stupac brojeve s koeficijentima nakon znaka jednakosti. Tako smo dobili nekoliko matrice, a zatim pronaći njihove odrednice.

Nakon što smo pronašli kvalifikacije, to je mala. Imamo početnu matricu, a postoji nekoliko izvedeni matrice, koje odgovaraju različitim varijablama. Da biste dobili rješenje sustava, podijelimo odrednica tablice s rezultatima na primarnom odrednica stola. Dobiveni broj vrijednost jedne varijable. Slično tome, nalazimo sve nepoznanice.

druge metode

Postoji nekoliko načina kako bi se dobila rješenje sustava linearnih jednadžbi. Na primjer, tzv Gauss-Jordanova metoda, koja se koristi za pronalaženje rješenja sustava kvadratnih jednadžbi, te se također odnosi na upotrebu matrice. Tu je i Jacobi metoda za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi. On se lako prilagođava svim računalima i koristi u izračunu.

komplicirani slučajevi

Složenost se obično događa ako je broj jednadžbi je manji od broja varijabli. Onda svakako možemo reći da, ili sustav nije u skladu (tj nema korijena) ili broj njegovih odluka teži u beskonačnost. Ako imamo drugi slučaj - potrebno je napisati opće rješenje sustava linearnih jednadžbi. To će uključivati barem jednu varijablu.

zaključak

Ovdje smo došli do kraja. Da sumiramo: moramo razumjeti što je matrica sustava, saznaje pronaći opće rješenje sustava linearnih jednadžbi. Osim toga smo smatrali druge opcije. Shvatili smo kako riješiti sustave linearnih jednadžbi: Gaussove eliminacije i Cramer vladavine. Razgovarali smo o teškim slučajevima i na druge načine pronalaženja rješenja.

U stvari, ovo pitanje je mnogo šira, a ako ga želite bolje razumjeti, savjetujemo vam da pročitate više stručne literature.