Geometrijskog niza. Primjer odluke

Razmislite red.

7 28 112 448 1792 ...

Sasvim jasno pokazuje da je vrijednost bilo kojeg od njegovih elemenata više nego prethodnih točno četiri puta. Dakle, ova serija je progresija.

geometrijska progresija zove beskonačan niz brojeva, glavna značajka koja je da sljedeći broj se dobiva iz gore množenjem nekom određenom broju. To je izraženo sa slijedećom formulom.

_{A Ž +1 = a · z q} , gdje je z - broj odabrane elementa.

Prema tome, z ∈ N.

Vrijeme kada se škola studirao geometrijsku progresiju - Grade 9. Primjeri će vam pomoći razumjeti koncept:

0,25 0,125 0,0625 ...

18. 6. veljače ...

Na temelju ove formule, napredovanje u nazivniku može se naći na sljedeći način:

Ni q, ili b _z ne može biti nula. Također, svaki od elemenata niza brojeva progresije ne smije biti nula.

Prema tome, vidjeti sljedeći broj broja, višestruko potonji od q.

Da biste definirali taj napredak, morate navesti prvi element njega i nazivnik. Nakon toga moguće je pronaći bilo koje od sljedećih članova i njihov iznos.

vrsta

Ovisno o q i _1, to progresija je podijeljena u nekoliko vrsta:

• Ako je _1, i q je veći od jedan, tada slijed - raste svakim uzastopnim element geometrijskog niza. njihovi primjeri opisani su niže.

Primjer: a = ₁ do 3, q = 2 - dva parametri veće od jedan.

Zatim niz brojeva može napisati kao:

3 6 12 24 48 ...

• Ako | q | manje od jedan, tj, ona je ekvivalent za množenje podjele, progresija sa sličnim uvjetima - smanjuje geometrijskog niza. njihovi primjeri opisani su niže.

Primjer: ₁ = 6, q = 1/3 - _A1 veći od jedan, q - manje.

Dok je numerički slijed može se napisati ovako:

2 lipnja 2/3 ... - svaki element više elemenata, nakon čega slijedi 3 puta.

• Izmijeni. Ako je q <0, znaci brojevima od naizmjenično slijed stalno bez obzira na _1, a elementi bilo povećanja ili smanjenja.

Primjer: ₁ = -3, q = 2 - su manje od nule.

Zatim niz brojeva može napisati kao:

3, 6, -12, 24, ...

formula

Za praktično korištenje, postoje mnogi geometrijski niz formula:

• Formula z-og pojam. To omogućuje izračun elementa u određenom broju bez obračuna prethodne brojeve.

Primjer: q = 3, a = ₁ 4 potrebno je izračunati četvrti elementa napredovanje.

Otopina: a = ₄ 4 3 3 · · ^4-1 = 4 ³ = 4 · 27 = 108.

• Zbroj prvih elemenata, čiji je broj jednak z. Omogućuje izračun zbroja svih elemenata u nizu dok se ne _z inclusive.

≠ 0, dakle, q nije 1 - (q 1) Od (1 q) u nazivniku onda.

Napomena: Ako je q = 1, onda progresija bi predstavljao niz beskrajno ponavljanje broj.

Količina eksponencijalno primjera: ₁ = 2, q = -2. Izračunati S _5.

Otopina: ₅ = S 22 - formula izračun.

• Iznos ako | q | <1, te kada z teži u beskonačnost.

Primjer: ₁ = _2, q = 0,5. Nađi sumu.

Otopina: S _z = 2 x = 4

Ako računamo zbroj nekoliko članova priručniku, vidjet ćete da je zaista počinjeno na četiri.

S _z = 1 + 2 + 0,5 + 0,25 + 0,125 0,0625 + = 3,9375 4.

Neka svojstva:

• Karakteristična osobina. Ako sljedećem stanju vrijedi i za bilo z, a zatim dati numerički niz - geometrijski napredovanje:

A _Ž ² _Z = A _-1 · _{AZ + 1}

• To je ujedno i trg bilo koji broj je eksponencijalno pomoću dodaje kvadrata drugih dvaju brojeva u svakom redu, ako su na istoj udaljenosti od elementa.

² a _z = a _{z - ^t2 +} a _z + _^t2 gdje t - razmak između ovih brojeva.

• Elementi razlikuju po q puta.
• Logaritama elemenata napredovanja kao i formira napredovanje, ali je aritmetika, to jest, svaki od njih više od prethodnog određeni broj.

Primjeri nekih klasičnih problema

Da bi bolje razumjeli što je geometrijska progresija, s primjerima odluka za 9. razredu može pomoći.

• Pravila i uvjeti: a ₁ = 3, ₃ = 48. Nađi q.

Otopina: svaki slijedeći element više od prethodne q vrijeme. Potrebno je izraziti neke elemente kroz drugu putem nazivnik.

Prema tome, ₃ = ² · q _A1

Kada q = 4 zamjenjujući

• Uvjeti: ₂ = 6, a = ₃ 12 S _{6 Izračun.}

Rješenje: Da biste to učinili, dovoljno je naći q, prvi element i zamjena u formulu.

₃ = q · _2, a time i q = 2

q = ₂ · A _1, tako a = ₁ 3

_S-6 189

• · A ₁ = 10, q = -2. Nađi četvrti element napredovanja.

Rješenje: to je dovoljno izraziti Četvrti element kroz prvi i kroz nazivnik.

₄ ³ = q · a = ₁ -80

Primjer primjene:

• Banka klijentu je pridonio sumu od 10.000 rubalja, pod kojima se svake godine klijent na iznos glavnice će biti dodan 6% to ipak. Koliko novca je na računu nakon 4 godine?

Rješenje: Početni iznos koji je jednak 10 tisuća rubalja. Dakle, godinu dana nakon ulaganja u obzir će se iznos koji je jednak 10000 + 10000 · 0,06 = 10000 · 1,06

Prema tome, iznos na računu još jedna godina će se izraziti na sljedeći način:

(10000 · 1.06) · 10000 · 0,06 + 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

To je, svake godine iznos povećan na 1,06 puta. Dakle, kako bi pronašli broj računa nakon 4 godine, dovoljno je naći Četvrti element napredovanje, koja se dodjeljuje prvi element koji je jednak 10 tisuća, a nazivnik jednak 1.06.

S = 1,06 · 1,06 · 1,06 · 1,06 · 10000 = 12.625

Primjeri zadataka za izračun iznosa:

U raznim problemima koristeći geometrijsku progresiju. Primjer pronalaženja iznos može se postaviti na sljedeći način:

_A1 = 4, q = 2, ₅ S _izračunati.

Rješenje: svi potrebni podaci za izračun su poznati, jednostavno ih zamijeniti u formulu.

S _5-124

• ₂ = 6, a = ₃ 18 Izračunaj zbroj prvih šest elemenata.

rješenje:

Geom. napredak svakog elementa sljedeći veći od prethodnih q vremena, to jest, da se izračunati iznos morate znati element A ₁ i nazivnik q.

₂ · q = ₃

q = 3

Isto tako, potrebno pronaći _{A1, A2} i znajući q.

A ₁ · q = ₂

A ₁ = 2

A onda je dovoljno zamijeniti poznatih podataka u formulu iznos.

S ₆ = 728.