Maclaurin i raspadanje nekih funkcija

Studiranje napredne matematike treba biti svjestan da je zbroj potencija u intervalu konvergencije niza nas je kontinuirani i neograničen broj puta diferencirane funkcije. Postavlja se pitanje: je li moguće tvrditi da je dao proizvoljan funkcije f (x) - je zbroj potencija? To je, pod kojim uvjetima F-ma je f (x) može zastupati potencija? Važnost ovog pitanja je da je moguće zamijeniti otprilike £ Teološki je f (x) je zbroj prvih nekoliko smislu snage serije, da je polinom. Takva funkcija zamjena je vrlo jednostavna izraz - polinom - je prikladan i za rješavanje određenih problema u matematičku analizu, odnosno u rješavanju integrala prilikom izračunavanja diferencijalne jednadžbe , itd ...

Dokazano je, da je za neke f-ii f (x), gdje su derivati (n + 1) th kako se može izračunati, uključujući najkasnije u blizini (a - R; x ₀ + R) od točke x = a fer formula je:

Ova formula je dobila ime po poznatom znanstveniku Brooke Taylor. Broj koji je izveden iz prethodnog, naziva se niz Maclaurin:

Pravilo što ga čini moguće proizvesti širenje u Maclaurin serije:

1. Odrediti derivate prvi, drugi, treći, ... red.
2. Izračunati što su derivati u x = 0.
3. Snimanje Maclaurin serija za tu funkciju, a zatim odrediti interval konvergencije.
4. Odrediti interval (R, R), gdje je preostali dio formule Maclaurin

R _(x) -> 0 za n -> beskonačnost. Ako postoji, to je funkcija f (x) mora biti jednak zbroju Maclaurin serije.

Razmislite sada o Maclaurin serije za pojedine funkcije.

1. Dakle, prvi se f (x) = ^{x e.} Naravno, da se njihova svojstva i f-la je izveden niz naredbi i f ^{(k) (x)} = ^{x e,} gdje je k jednako svim prirodnim brojevima. Zamjena x = 0. Dobivamo f ^{(k) (0)} = ⁰ e = 1, k = 1,2 ... Na temelju prethodnog, broj e ^x To će biti kao što slijedi:

2. Maclaurin serije za funkcije f (x) = x žrtvu. Odmah odrediti da F-ma za sve nepoznatih derivata biće, osim f ^'(x) = x = cos sin (x + n / 2), ^{f' „(x)} = x = -sin sin (x * n + ^2/2) ..., f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), gdje je k jednako bilo pozitivni cijeli broj. To je, čineći jednostavne izračune, možemo zaključiti da je serija za f (x) = sin x će biti ovako:

3. Sada ćemo razmotriti iju F-f (x) = cos x. To je poznato za sve derivate proizvoljnim redoslijedom, i ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Opet, to što je napravio neke izračune, nalazimo da je serija za f (x) = cos x će izgledati ovako:

Dakle, mi smo navedeni najvažnije značajke koje je moguće proširiti na Maclaurin seriji, ali oni nadopunjuju Taylorov red za neke funkcije. Sada ćemo ih, kao dobro. Također treba napomenuti da je Taylor serije i Maclaurin serije su važan dio radionice nizu odluka u više matematike. Dakle, Taylor serije.

1. Prvi je niz f-ii f (x) = u (1 + x). Kao u prethodnim primjerima, na ovom smo f (x) = ln (1 + x) može se presavijeni broj, koristeći opći oblik Maclaurin serije. ali za ovu značajku Maclaurin mogu se dobiti mnogo lakše. Integriranje geometrijski niz, dobivamo broj za F (x) = u (1 + x) uzorka:

2. I drugi, koji će biti konačna u ovom članku, bit će serija za f (x) = arctg x. Za x pripadaju intervalu [1; 1] vrijedi raspadanje:

To je sve. U ovom članku sam ispitanih najviše koristi Taylorov red i Maclaurin serije u više matematike, posebno u gospodarskim i tehničkim fakultetima.